Welcome to misalpav.com
लेखक: आतिवास | प्रसिद्ध:
त्या दिवशी ‘Our Scientists’ हे पुस्तक वाचत होते. नॅशनल बुक ट्रस्टचं १९८६ मधलं प्रकाशन आहे ते. ब-याच काळापासून मागं पडलेलं पुस्तक आहे; म्हणून त्या दिवशी जरा नेटाने वाचत होते. ‘नेटाने’ कारण पुस्तकाची शैली. वेगवेगळ्या शास्त्रज्ञांची त्यातली ओळख इतकी संक्षिप्त आहे; की कंटाळा यायला लागला मला (म्हणून हे पुस्तक दरवेळी मागे पडत गेलंय माझ्यासाठी!) हे पुस्तक शाळकरी मुलांसाठी आहे हे तर मला आणखी विशेष वाटलं; कारण या पुस्तकात मुलं रमतील असं काहीच नाही दिसलं मला. एका लेखात ‘स्थिरांक’ आढळला. काय आहे हा स्थिरांक? १. एक चार अंकी नंबर घ्या. त्यात किमान दोन वेगळे अंक असले पाहिजेत. म्हणजे ११११, २२२२ हे आकडे चालणार नाहीत. (मी लिहीलं: ४६३२) २. हे चार अंक आता उतरत्या क्रमाने लिहा (६४३२) ३. आता तेच आकडे उलट्या क्रमाने लिहा (२३४६) इथं खर तर ते चार अंक चढत्या क्रमाने लिहा अशी एक सूचना देऊन काम भागलं असतं असं लगेच वाटलं. पण या दोन्ही आकड्यांचा आपण उपयोग करणार आहोत, त्यामुळे दुसरी पायरी मोडीत काढायची घाई करू नका. ४. आता पहिल्या पायरीतल्या आकड्यातून तिस-या पायरीताला आकडा वजा करा. (४६३२ -२३४६= २२८६) आता या क्रमांकाला दोन ते चार या प्रक्रियेतून न्या. बघू काय होतेय ते. उतरत्या क्रमाने लिहिले अंक: ८६२२ ते उलट्या क्रमाने लिहिले: २२६८ आता वजाबाकी : ८६२२ -२२६८ = ६३५४ प्रक्रिया पुढे चालू. उतरत्या क्रमाने लिहीले अंक: ६५४३ चढत्या क्रमाने ते होतात: ३४५६ आता वजाबाकी: ६५४३-३४५६= ३०८७ काही होत नाहीये असं वाटतंय का? थोडा धीर धरा; पुढे करा प्रक्रिया. उतरत्या क्रमाने: ८७३० क्रम उलट करून: ०३७८ वजाबाकी: ८७३० -०३७८= ८३५२ पुढे: उतरत्या क्रमाने: ८५३२ उलटा क्रम: २३५८ वजाबाकी: ८५३२-२३५८ = ६१७४ हं! शीर्षक हे दिलंय – पण याचा अर्थ काय? कळेल, पुढे चालू ठेवा गणिती प्रक्रिया. उतरत्या क्रमाने: ७६४१ क्रम उलटा: १४६७ वजाबाकी: ७६४१-१४६७= ६१७४ तोच आकडा आला पुन्हा. ६१७४. आता अनंत वेळा (!) हे गणित करत बसलो आपण तरीही नंबर तोच येत राहणार. दुसरा एखादा प्रयोग करू. ९४२३ ९४३२ २३४९ ९४३२-२३४९= ७०८३ पुढे बघू काय होतंय ते. ८७३० ०३७८ ८७३०-०३७८= ८३५२ काही कळत नाही – पण करत राहू. ८५३२ २३५८ ८५३२-२३५८= ६१७४ अरेच्चा! आला की हा ६१७४ परत. काय भानगड आहे ही? तिसरं उदाहरण घेऊन बघू. ८४१७ ८७४१ १४७८ ८७४१-१४७८= ७२६३ ठीक आहे; पुढे. ७६३२ २३६७ ७६३२-२३६७ = ५२६५ परत एकदा ६५५२ २५५६ ६५५२-२५५६= ३९९६ पुढे; ९९६३ ३६९९ ९९६३-३६९९= ६२६४ आता नाही येत तो ६१७४? एक मिनिट. ७६४१ १४६७ ७६४१-१४६७ = ६१७४ ६१७४ हा नंबर ‘काप्रेकर स्थिरांक’ म्हणून ओळखला जातो. या स्थिरांकाचा उपयोग नेमका कुठे केला जातो यासंबधी मला काहीही माहिती नाही; पण असा नंबर येतो हे पाहणं ही एक गंमत आहे. आणि हा स्थिरांक शोधून काढला आहे दत्तात्रय रामचंद्र काप्रेकर (की कापरेकर?) या आपल्या मराठी माणसाने! विकीवरच्या माहितीनुसार त्यांचा जीवनकाल १९०५ ते १९८६ असा आहे. त्यांचं माध्यमिक शिक्षण ठाण्यात तर महाविद्यालयीन शिक्षण पुण्यात झालं. नाशिकमध्ये त्यांनी शिक्षक म्हणून काम केलं. त्यांनी ‘गणितानंद’ या टोपण नावाने लेखन केलं असा उल्लेखही आहे आणि त्यांनी शोधून काढलेल्या इतर गणिती नंबरांची माहितीही या ‘विकी’ पानावर आहे . नॅशनल बुक ट्रस्टने ‘Our Scientist’ या पुस्तकात कै. काप्रेकर यांची दखल घेतली, पण मला मात्र या माणसाबद्दल आणि त्याच्या कामाबद्दल काहीच माहिती नाही हे लक्षात आलं. ‘Our Scientist’ या पुस्तकातली माहिती संक्षिप्त आहे. कुणाला त्यांच्याबद्दल, त्यांच्या गणितातल्या कामाबद्दल अधिक काही माहिती आहे का? अधिक माहिती कुठे मिळेल याविषयी कुणी सांगू शकेल का? गणितात आनंद शोधणारी आणि तो मिळवणारी माणसं असतात याचा आनंद होतोय. आता तरी मला परत गणिताकडे वळायची प्रेरणा मिळतेय का ते पाहते! ** अन्यत्र पूर्वप्रकाशित
प्रकार:
Story Type
विषय:

प्रतिक्रिया

हा स्थिरांक शोधणार्‍या कापरेकर सरांबद्दल 'गणितानंदी कापरेकर' नामक छोटेसे पुस्तक प्रकाशित झालेले आहे. नंबर थिअरीत एलेमेंटरी लेव्हलला अशा मजेशीर आयडेंटिटीज शोधण्यात त्यांचा हातखंडा होता. तुम्ही उल्लेखिलेल्या स्थिरांकाखेरीज अन्य काही शोधही जालावर मिळतील बहुधा. पुस्तकात वाचलेले आता आठवत नाहीये, ते पाहिले पाहिजे.

तुम्ही उल्लेखिलेल्या स्थिरांकाखेरीज अन्य काही शोधही जालावर मिळतील बहुधा
अं हं ... ही प्रॉपर्टी फक्त ३ आणि चार आकडी संखे साठी होते असं विकि म्हणतो ... प्रुफ पहावे लागेल... http://mathworld.wolfram.com/KaprekarRoutine.html पुढील आकडी संखांसाठी २, ३ अशा संख्या असु शकतात असे कळाले ... ( बर मग किती असु शकतात ? किती स्टेप्स नंतर कॉन्स्टट अचिव्ह होईल ? त्याचे संख्येशी काही फंक्स्न असेल का ? हे खाले डेसीमल सिस्टीमचे इतर सिस्टीमचे काय ? त्यात असए अंक असतील का ? ..................................... अवघड आहे ... *SCRATCH* )

"अवघड आहे" - याच्याशी सहमत. म्हणून कापरेकर सरांबद्दल आदर वाटला. सुचलं कसं असेल त्यांना हे असं शोधावं म्हणून? त्यांचे विद्यार्थी, सहकारी यांना शोधून आणखी माहिती घ्यायला हवी - असं बरंच काही डोक्यात येतंय; पाहू प्रत्यक्षात कसं जमतंय ते!

सहमत. बाकी अशा प्रॉपर्टीज या रॅडिक्स ऑफ नंबर सिस्टिमशी निगडित नसाव्यात असे वाटते. अवांतरः कोलॅट्झ प्रॉब्लेम पाहिला आहे का? http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture याचे प्रूफ अजून मिळालेले नाही यावर विश्वास ठेवणे अशक्य वाटते.

हे आणखी एक रोचक उदाहरण!पूर्वी संगणक नसण्याच्या काळात अशा "सिद्धता" तपासून पाहणे किती जिकिरीचे असेल याची आपण फक्त कल्पना करु शकतो!

मान्य, पण संगणकाने एखादे प्रमेय सिद्ध करणे हे आजही अवघड आहे. पण न्युमेरिकल पुरावा क्षणार्धात मिळवता येतो व त्याआधारे अनेक अनुमाने लावायला वेळ कमी लागतो हे अर्थातच आहे.

हे दिसायला किती सोप्पे दिसते ना ... हे अजुन एक पहा :http://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_conjecture Goldbac conjecture Every even integer greater than 2 can be expressed as the sum of two primes. दिसायला कित्ती सोपं आहे पण अजुन अन्सॉल्वड ... एव्हन खुद्द ऑयलर 'द अ‍ॅनालिसिस इन्कार्नेट' एका पत्रात गोल्डबाक ला म्हणाला होता की त्यालाही हे प्रूव्ह करता येत नाहीये *shok*

वरील ४ आकडी आणि इतर आकडी अशा अनेक स्थिर संख्या आहेत. आणि प्रत्येकात नऊ हा आकडा येतोच येतो. ह्या स्थिर संख्या आधिपासुनच होत्या. त्या वेगवेगळ्या गणन पधतीने पुढे आल्या एवढच.

पहिल्या उदाहरणात पाय-यांची गडबड झाली आहे असं पुन्हा विचार करताना लक्षात आलं. उतरत्या क्रमातून चढत्या क्रमाची संख्या वजा करायची आहे; मूळ संख्येतून नाही. म्हणून ते गणित वास्तविक असं दिसेल. ४६३२ ६४३२-२३४६=४०८६ ८६४०-०४६८= ८१७२ ८७२१-१२७८=७४४३ ७४४३-३४४७= ३९९६ ९९६३-३६९९=६२६४ ६६४२-२४६६= ४१७६ ७६४१-१४६७= ६१७४ मी चुकलेल्या पद्धतीतही ६१७४ आला होताच. आधी तो पाच पाय-यांत आला होता, इथं सात पाय-यांत येतोय. तो योगायोग होता की तसाही कापरेकर स्थिरांक येतो याबद्दल कुतूहल वाटायला लागले आहे.

ह्याचे मुळ आहे दशमान पद्धतीत. दोन संख्यांमधील मोठी आणि लहान संख्या ह्यांच्या एकत्रित आकड्यातील वजाबाकी ही नऊ येते. उदा. =२१-१२ = ९ =३२१-१२३=९ आणि अनंत. हेच मुळ कारण आहे संख्या क्रमवार लिहिण्याबाबत. आपण नकळत संख्यांना लहान आणि मोठे करतो. जर सगळे अंक समान असतील तर लहान आणि मोठी संख्या निर्माणच होणार नाही आणि उत्तर शुन्य असेल.

दशमान पद्धतीचं हे आणखी एक वैशिष्ट्य आहे हे खरंच! पण असे किती काय काय निघतील अंक यातून हे कळत नाही. आणि पहिल्यांदा ज्याला कुणाला असं सुचलं त्याचं कौतुक वाटत राहतं!

६१७४ म्हणजे नउच. दशमान पध्दतिमधे यापेक्षा मोठी संख्या एकक न वाढवता लिहता येतच नाही. पण समजा आपण विषमान पध्दत आचारली असती तर ? म्हणजे हाताला विस बोटे असती आणि त्यामुळे विस ही संख्या मोजुन झाल्यावर एक एकक वाढवणे कमी करणे आपल्याला सोपे वाटले असते तर कोणती संख्या आली असती ?

पण हे खुपच इलिमेन्टरी आहे ...पुढे गेल्यावर हे इतके सोप्पे रहात नाही ... उदाहरणार्थ : ६१७४ हा चार आकडी नंबर झाला तसा तीन आकडी ४९५ =९५४-४५९ असा आहे हे विकी वरुन कलाले ... मग पाच अंकी काय असेल ? सहा ? सात ? विकी वर लिहिलय की ही प्रॉपर्टी फक्त तीन आकडी आचार आकडी नंबर मधेच होते पुढे होत नाही ... मग आता हे प्रुव्ह करणे आले ... ते सुध्दा केवळ पाच सहा सात नव्हे तर इन्फायनाईट आकडी संख्ये साठी ही ... फर्मा ह्याने असाच एक प्रॉब्लेम http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem सतराव्या शतकात लिहुन ठेवला तो आत्ता १९९१ साली प्रुव्ह झाला ... येवढा पेशन्स नाही बुवा आपल्याकडे :D ... नकोच ती नंबर थेरी ... आपण आपलं सोप्प काही तरी गणित करु :) बाकी तुम्ही लेख लिहिलाय हा प्रचंड आवडला आहे ... गणितात उत्सुकता निर्माण करणारे असे लेख लिहिले गेले पाहिजेत राव .... अवांतर :हा व्हिडियो पहा ... http://www.youtube.com/watch?v=7FnXgprKgSE केवळ अप्रतिम आहे :)

छान माहिती. याला काप्रेकरज् कॉन्स्टंट असे नाव आहे. विकी स्त्रोत त्यांच्यावर विकी पान आहे. त्यांच्या संशोधनासंदर्भात खालील परीच्छेद तसाच देत आहे: Khaprekar Working largely alone, Kaprekar discovered a number of results in number theory and described various properties of numbers. In addition to the Kaprekar constant and the Kaprekar numbers which were named after him, he also described self numbers or Devlali numbers, the Harshad numbers and Demlo numbers. He also constructed certain types of magic squares related to the Copernicus magic square.[3] Initially his ideas were not taken seriously by Indian mathematicians, and his results were published largely in low-level mathematics journals or privately published, but international fame arrived when Martin Gardner wrote about Kaprekar in his March 1975 column of Mathematical Games for Scientific American. Today his name is well-known and many other mathematicians have pursued the study of the properties he discovered.[1]

प्रसिद्धिची साधने नसल्याने असे किती कापरेकर दुर्लक्षित राहिले असावेत काय? कापरेकर मुंबई-पुणे भागात १९८६ पर्यंत हयात होते. या काळात किती गोष्टी या याच भागात, आईन्स्टाईन, न्यूटन, पासून ते आर्कीमिडीज पर्यंत सांगितल्या गेल्या? तेच काहीसे भाग्य त्याच काळात, नाही म्हणायला सहस्त्रक-शतकांपूर्वींच्या भास्कराचार्यादींना मिळाले आणि अमेरीकेत रहात असलेल्या नरेन्द्र करमरकरांना देखील लाभले. पण आपल्यातलाच एक माणूस असे काही करू शकतो, यावर विश्वास ठेवण्यापेक्षा संशय घेणारेच अधिक सापडतील. असो पिकते तिथे त्या गोष्टींचे मुल्य नसते, म्हणून विकल्या जात नाहीत. :(

माफ करा, पण या काळात किती गोष्टी या याच भागात, आईन्स्टाईन, न्यूटन, पासून ते आर्कीमिडीज पर्यंत सांगितल्या गेल्या? या वाक्यात काय गर्भितार्थ आहे हे ध्यानी नाही आलं. भारत आणि इतर पाश्चात्य राष्टं असा सूर अभिप्रेत असेल तर त्याच्याशी मी सहमत नाही. मला वाटतं, कोणत्याही शास्त्रीय शोधाचा/माहितीचा 'उपयोग'(अ‍ॅप्लिकेशन) काय आहे यावर त्याचा प्रचार, प्रसार (इतर लोकांना त्याची माहिती असणं) अवलंबून राहतो. शिवाय पाठ्यपुस्तकात एखादी गोष्ट यायची तर त्याला काळ जावा लागतो. कापरेकर स्थिरांकाचा उपयोग कुठे आणि कसा होतो याबद्दल मला तरी काही माहिती नाही. जोवर तो उपयोग समोर येत नाही, तोवर अशा गोष्टींचं मूल्य फक्त मनोरंजनात्मक राहतं आणि मग ते विसरायला होतं. तुमच्या वाक्याचा सूर तसा नसेल तर मग माझं काही म्हणणं नाही. कसल्याही आरोपाविना एक भावना म्हणून असं वाटणं मी समजू शकते.

गणिती संकल्पनांविषयी कुतुहल निर्माण करणारा, विचार करायला लावणारा लेख. दोन आकडी संख्यांसाठी असा आकडा नाही. प्रयत्न केल्यावर ताबडतोब नऊच्या पाढ्यातला आकडा मिळतो, आणि मग पुढच्या पायऱ्यांना नवाच्या पाढ्यातलेच आकडे पुन्हा पुन्हा मिळत जातात. त्यामुळे एका संख्येवर स्थिरावणं ही किती आकडी संख्या आहे त्यावर अवलंबून आहेसं दिसतं. A>B>C>D 999*A + 99*B - 99*C - 999*D = (A or B or C or D)*1000 + (any one of the remaing letters)*100 + (one of the remaining letters)*10 + (remaining letter)*1 असं काहीतरी समीकरण येतं. ते सोडवायचं कसं याचा काहीच क्लू नाही.

शाळेत असतांना आजोबांनी आवर्जून नासिकच्या डी. आर. कापरेकर सरांच्या घरी नेलं होतं त्याची आठवण झाली. खूप गणिती गंमती-जंमती त्यांनी दाखवल्या होत्या, इतकंच आता आठवतं आहे, त्यात या स्थिरांकाविषयीही सांगितलं होतं. पण कालौघात त्यापलिकडे माझ्या पोतडीत काहीच राहिलं नाही हे माझं दुर्दैव!

लेख आवडला. काल ऑफ लाइन वाचुन मुलाला बसवल होतं,अर्थात आयपॅड घेउन. तरीही कंटाळला. :( मी मात्र पुन्हा पुन्हा विचार करत राह्यले. मग आकडे सुटले अन कापरेकरांबद्दल विचार करत राह्यले. ८६ म्हणजे आपण असतानाच!

आमचे सर म्हाणायचे की गणितात अगणित गमतीजमती आहेत जोवर तो उपयोग समोर येत नाही, तोवर अशा गोष्टींचं मूल्य फक्त मनोरंजनात्मक राहतं आणि मग ते विसरायला होतं. हेच खरं आहे. आणि शोध लावल्या नंतर ही अशी पुस्तके जरी निघाली तरी ती घेवुन अभ्यासणारेही कमी आहेत. नऊच्या पाड्यातील सगळ्या अंकांची बेरीज ९च येते. पहा ९=०=+९=९ १८=१+८=९ २७=२+७=९ ... शाळेत हे सांगितले जात नाही. कारण ते अवांतर आहे.

तुम्हाला ९ चा पाढा पाठ करायची गरज नाही . हाताची १० बोटं डोळ्या समोर धरा ... आता तुम्हाला ९ * ३ करायचे आहे तर डावी कडुन तीसरे बोट दुमडा ... आता पहा तुमच्या डोळ्या समोर उत्तर आहे ( डावेकडे २ बोटे आणि उजवी कडे ७ = २७ !! बिंगो ) करुन पहा

दहा आकड्यांतील हे रोचक जग माणसाने किती उशिरा शोधले खरंतर त्या आधीच निसर्गाने माणसाला दहा-दहा बोटं देऊन ही पद्धत दाखवून दिली होती.

दहा आकड्यांतील हे रोचक जग माणसाने किती उशिरा शोधले खरंतर त्या आधीच निसर्गाने माणसाला दहा-दहा बोटं देऊन ही पद्धत दाखवून दिली होती. क्या बात है , मस्तच !

@ सुहास जी ह्याचे मुळ आहे दशमान पद्धतीत. दोन संख्यांमधील मोठी आणि लहान संख्या ह्यांच्या एकत्रित आकड्यातील वजाबाकी ही नऊ येते. उदा. =२१-१२ = ९ =३२१-१२३=९ आणि अनंत. समजले नाही हे जरा विस्क्टुन सांगा ना. म्हणजे ३२१-१२३=९ हे कसे काय?

"परफेक्ट नंबर्स्"ची अशीच गंमत आहे. (१) ६ या आकड्याचे अवयव १, २, ३ आणि ६ असे आहेत. त्यापैकी ६ वगळता उरलेल्या सर्व अवयवांची बेरीज ६ होते. (२) २८ या आकड्याचे अवयव १, २, ४, ७, १४ आणि २८ असे आहेत. त्यापैकी २८ वगळता उरलेल्या सर्व अवयवांची बेरीज २८ होते. या सारखे अजून किती आकडे असतील? यापुढील आकडा ४९६ आहे. ४९६ चे अवयव १, २, ४, ८, १६, ३१, ६२, १२४, २४८ आणि ४९६ आहेत. यापैकी ४९६ वगळता उरलेल्या सर्व अवयवांची बेरीज ४९६ येते. मी काही काळापूर्वी हे आकडे शोधण्यासाठी एक सूत्र तयार केले होते. (२ चा 'क्ष - १' वा घात) गुणिले (२ चा 'क्ष' वा घात - १) केले की हा आकडा मिळतो. या सूत्रात 'क्ष' हा प्राईम नंबर असायला हवा. म्हणजे क्ष = २, ३, ५, ७, ११, १३, १७, १९, .... क्ष = २ असताना, परफेक्ट क्रमांक = (२ चा पहिला घात) * (२ चा दुसरा घात - १) = २ * (४ - १) = ६ क्ष = ३ असताना, परफेक्ट क्रमांक = (२ चा दुसरा घात) * (२ चा तिसरा घात - १) = ४ * (८ - १) = २८ क्ष = ५ असताना, परफेक्ट क्रमांक = (२ चा चौथा घात) * (२ चा पाचवा घात - १) = १६ * (३२ - १) = ४९६ यापुढील आकडा क्ष = ७ टाकल्यावर मिळेल. कालांतराने गुगल शोधताना हेच सूत्र कोणीतरी आधीच शोधून ठेवल्याचे सापडले. गणितात अशा अनेक गंमतीजमती आहेत. अजून एक गंमत म्हणजे कोणताही नैसर्गिक क्रमांक हा जास्तीत जास्त ४ नैसर्गिक क्रमांकांच्या वर्गांच्या बेरजेच्या स्वरूपात मांडता येतो. उदा. ९१ = ६४ + २५ + १ + १ १९३ = १६९ + २५ + ९ १९५ = १४४ + ४९ + १ + १ त्यामुळे कोणत्याही इररॅशनल लांबीचा रेषाखंड (उदा. १९५ चे वर्गमूळ इतकी लांबी असलेला रेषाखंड) हा जास्तीत जास्त ४ काटकोन त्रिकोण वापरून काढता येतो.

धागा आणि प्रतिक्रिया वाचुन डोके गरगरु लागले ...आपण गणितात एक नंबर ढ पण असे सर मिळाले असते तर कदाचित जास्त आवड निर्माण झाली असती गणितात...कापरेकरांना सलाम!!

गणितात ढ असल्याने काहीपण समजण्यास मार्ग नाही ! ;) बाकी खालच्या चौकटीतील आकड्यांची कशीही बेरीज करा, उत्तर = ७२ हेच येइल. ;) KY {चित्र जालावरुन घेण्यात आले आहे.}

'मॅजिक स्क्वेअर' बद्धल माहित नव्हते ! धन्स ! :) खरं तर जो वरती कोष्टक म्हणुन उल्लेख केला आहे ते अंकात्मक कुबेर यंत्र आहे. इथे गणितातल्या गमती-जमती पाहताना हे त्यात बसते असे वाटल्याने इथे दिले. संदर्भ :- WORSHIP OF LORD KUBERA जाता जाता :- कुबेर,यक्ष आणि याक्षिणी यांचा संबंध अगदी आपल्या रिजर्व बँकेशी सुद्धा आहे. कसा ? ते खालच्या दुव्यात वाचा. Anecdote 3: Of Art, Central Banks, and Philistines

सर्व वाचकांचे आणि प्रतिसादकांचे आभार. बॅटमॅन, प्रसाद गोडबोले, सुहासदवन, विकास, राजेश घासकडवी, प्रमोद देर्देकर, श्रीगुरुजी आणि मदनबाण यांनी माहितीत भर घातली, त्याबद्दल त्यांचे थोडे जास्त आभार :-)

जरा अजुन माहितीत भर घालावीशी वाटते आहे. तुम्ही 'मॅजिक स्क्वेअर ची माहिती दिली आहे, ज्या बद्धल मला आधी माहित नव्हते {अर्थात गणितात गती नसल्यानेच } परंतु या मुळे यंत्र आणि गणित यांचा संबंध स्पष्ट झाला शिवाय मॅजिक स्क्वेअर मधे बसणारेच यंत्र वरती दिले आहे. आता टाळक्यात विचार होता की मॅजिक स्क्वेअर आणि यंत्र यांच्यातला संबंध किंवा इतर माहिती कशी मिळवायची ? अर्थातच आंतरजाल हाच आधार ! मग बराच शोध घेतला,अजुनही या विषयावर शोध चालु आहे आणि राहील. आता एक दुवा इथे देतो. इथे गणित या विषयात रुची घेणारे बरेच जण आहेत हे वरील अनेक प्रतिसादातुन दिसुन आलेच आहे त्यांच्यासाठी यात काही विशेष सापडते का ते पहा. An introduction to Yantra magic squares and Agrippa–type magic matrices {हा McGill University च्या The Department of Mathematics and Statistics मधील पिडीएफचा दुवा आहे.} यात अनेक गणितांची समिकरणे दिली आहेत, आणि अर्थातच मला न-समजणारी. कोणाला शक्य झाल्यास हा दुवा वाचुन यातली काही माहिती अजुन स्पष्ट आणि सोप्या शब्दांमधे देता आली तर उत्तम !

मदनबाण साहेब, पीडीएफ पाहिली. रोचक आहे, जादूचे चौरस आणि नेस्टेड जादूचे चौरस यांच्याशी निगडित बरेच रिझल्ट्स दिसताहेत. अर्थात यांचा अध्यात्माशी कितपत संबंध आहे हा वाईड बॉल तूर्तास सोडून देतो, पण याचं गणित रोचक वाटलं.