क्षणिक बदलांची गोळाबेरीज व संख्यामालिका : अंदाजातील अचूकतेकडे मारलेली हनुमानउडी (Integration and number series : Quantum leap towards exactness in approximations)

पुन्हा तोच चंद्रविरहित प्रहर, पुन्हा तो रातकिड्यांच्या आवाजाने भरलेला आसमंत, पुन्हा नव्याने ऐकू येणारी शिकार झालेल्या वनचराची वेदनायुक्त विव्हळणी, पुन्हा शिकार केलेल्याने दिलेली उन्मादी डरकाळी, संधीसाधू तरसांनी दरम्यानच्या वेळात केलेली स्वार्थी टेहळणी अशा एक ना अनेक नित्याच्या झालेल्या घटनांची फेरउजळणी ते जंगल राजा विक्रमाला करून देत होते. परंतु प्रजाहितदक्ष राजाला या भयावह घटनाचित्राची दखल घ्यायला सवड होतीच कुठे? त्याचे मन नेहमीप्रमाणेच त्याच्या प्रजेच्या हिताची चिंता करण्यात मग्न झालेलं होतं. त्याने सवयीने लावलेले अंदाज आणि प्रत्यक्ष निरीक्षण यातून त्याच्या अंदाजांना अधिकाधिक अचूक कसं करता येईल याकडे त्याचं मन वेधलं गेलेलं होतं.

नेहमीप्रमाणेच विक्रमाच्या विचारांना नितळ पाण्यात विहरणाऱ्या चंचल माश्यांइतकं स्वच्छपणे पाहू शकणाऱ्या वेताळाने तो विचार आणि तो क्षण एकदमच पकडला व त्याच्या खांद्यावर स्वार होत म्हणाला, “इतकी सूत्रे, इतके नियम, इतके वाद-अपवाद, आलेख, समीकरणे मांडूनही तुम्हा मानवांची बुद्धी बदलांची अचूक गोळाबेरीज करूच नाही शकली? यावर तुम्हाला उपाय नाहीच मिळाला? पण मी तुला इतकं मोघमपणे विचारणार नाही. मला सांग, एक पोलादाचा गोळा एका मल्लाने उचलून सर्वशक्ती निशी जोरात खाली जमिनीवर फेकला. त्यामुळे तो गोळा वेगाने घरंगळू लागला. तुमच्या समीकरणाच्या भाषेत त्याचा वेग v(t) = 3t या सूत्राने दाखवता येत असेल तर तो गोळा कोणत्याही विशिष्ठ क्षणी त्या मल्लापासून किती अंतरावर असेल? शिवाय आपण असे समजू की मल्ल हा आरंभस्थानापासून १० मीटर अंतरावर आहे व तेथून गडगळू लागला. म्हणजे प्रवासाची सुरुवात त्या गोळ्याने आरंभस्थाना पासून १० मी. अंतरावर सुरु केली.

सांग विक्रमा सांग..इतके दिवस मी विचारलेल्या प्रश्नांची काही बाही उत्तरे देऊन तू माझ्या तावडीतून सुटत आलास. पण आजच्या अमावस्येला लोपलेला चंद्र तुझ्या आयुष्यात पुन्हा कधीच उगवणार नाहीये..हो मरणाला तयार...हाऽहाऽऽहाऽऽऽ!!!”

रानाच्या हृदयाला चिरणारी भीषण शांतता तेथील स्थिरचर-वनचरांना जागच्याजागीच थिजवून गेली. भीषण आवाज करणाऱ्या वटवाघळांनी, थंडरक्ताच्या विषारी सर्पांनी, अजगारांनी, घुबडांनी विक्रमाचे पार्थिव मिळण्याच्या लालसेने या घटनास्थळाकडे अपेक्षेने धाव घेतली...विक्रम उत्तर देतो की शरणागती पत्करून वेताळाकडे प्राणांची भीक मागतो याकडे सर्वांचे कान लागलेले होते...काळ फार संथपणे पुढे सरकत होता..

“वेताळा, या पद्धतीचे प्रश्न माणसांना फार पूर्वी पासून पडत आले आहेत. तुझ्या प्रश्नाचे चांगले उत्तर मी देइनच आणि ते शोधण्यासाठीच्या पद्धती कशा विकसित झाल्या तेही मी सांगतो. तू दिलेल्या उदाहरणावरून आपल्याला हे लक्षात येते की आपल्याला वेगाचे सूत्र माहित आहे. हे एकरेषीय समीकरण (Linear Equation) आहे. शिवाय आपल्याला हे सुद्धा माहित आहे की वेग (velocity) हा विस्थापनाचा (displacement) विखंडित(first derivative) आहे. म्हणूनच वेगाचे हे सूत्र आपण खालीलप्रमाणे लिहू शकतो

f’(t) = 3t.
त्याचा आलेख खालील प्रमाणे दिसतो

या सूत्रावरून विस्थापनाचे सूत्र मांडायचे झाल्यास ते खालीलप्रमाणे मांडता येते:
f(t) = 3t2/2 + c.
या ठिकाणी c या स्थिरांकाची किंमत 10 एवढी आहे. त्यामुळे विस्थापनाचे वर्गसमीकरण (Quadratic Equation) पुढील प्रमाणे लिहिता येईल:
f(t) = 3t2/2 + 10.
आणि त्याचा आलेख खालील प्रमाणे दिसतो

“अरेच्चा विक्रमा एकरेषीय समीकरणाच्या पोटातून वर्गसमीकरण बाहेर आलं? म्हणजे ही बदलांची गोळाबेरीज करताना समीकरणातील चलाचाही वर्ग, घन होतो? समीकरणच बदलते?”

“होय वेताळा, खूपच अचूक निरीक्षण..”

“ बर बर, पुढे बोल..”

“बर, मल्लाने ज्या क्षणी गोळा फेकला तो क्षण म्हणजे t = 0 धरला तर त्या क्षणी असलेला वेग म्हणजे ० आणि त्या क्षणीचे विस्थापन १० मीटर होय. पाहिल्या सेकंदाला असलेला वेग म्हणजे f’(1)= 3 मी/सेकंद. त्या वेळेपर्यंत झालेले विस्थापन f(1)= 3/2 + 10 = 11.5 मीटर.

पण एक सेकंद हा ही दहा भागात विभागला तर ०.१ एवढ्या सेकंदात झालेले विस्थापन पहायचे झाल्यास f’(0.1) = 3(0.1) = 0.3मी/सेकंद. त्याक्षणाचे विस्थापन f(0.1)= .3 * .1 = .03 मीटर. अशा क्षणिक विस्थापनांची बेरीज खालील पद्धतीने दाखवता येईल:

(0.0)(0.1)+(0.3)(0.1)+(0.6)(0.1)+...+(2.7)(0.1)=1.35.

या हिशोबाने पाहू गेल्यास पहिल्या सेकंदात मल्लापासून तो गोळा 11.35 मीटर अंतरावर पोहोचलेला असेल. समजा t=0 ते t=2 सेकंद याकालावधीतील प्रत्येक सेकंदाचे १० भाग केले, म्हणजे एकूण २० भाग केले तर त्या सूक्ष्म कालांमधील विस्थापने खालील आलेखाने दाखवता येतील.

पण ते उत्तर तितकंसं बरोबर नाही कारण पहिल्या ढोबळ पद्धतीवरून आपल्याला आधीच माहित आहे की विस्थापन ११.५ मीटर एवढे झालेले आहे. मग हा फरक भरून काढण्यासाठी काय करता येईल?

तर या 0.1 सेकंद कालावधीचेही दहा भाग करू, म्हणजे मिळेल 0.01 सेकंद. तर या दर 0.01 सेकंदांना होणाऱ्या सुमारे १०० छोट्या छोट्या विस्थापनांची बेरीज करत जाऊ:

(0.0)(0.01)+(0.03)(0.01)+(0.06)(0.01)+…+(2.97)(0.01)=1.485 मीटर इतकी ती बेरीज भरते. ”

“अरे विक्रमा ही बेरीज तर ०.१ सेकंद धरून केलेल्या बेरजेपेक्षा जास्त अचूक वाटते. पण दर वेळेला १०० बेरजा करायच्या?”

“एक वेळ वेताळ या बेरजा करेलही, पण माणूस करणार नाही. अशा ठिकाणी संख्यामाला (number series) ची संकल्पना माणसाने काढली. करायचे असे की या काळाचे n एवढे तुकडे करायचे. काळ t=0 असताना वेग असेल (0.0)(1/n)=0.
पाहिल्या कालावधीत म्हणजे t=1/n ते t=2/n या कालावधीत गोळ्याने केलेला प्रवास असेल :
3*(1/n)*(1/n)= 3/n2मीटर.

या कालावधीला जर आपण एक आकडा i दिला तर त्या काळाच्या i व्या तुकड्यात त्या गोळ्याने कापलेले अंतर असेल (3(i-1)/n)(1/n)=3(i-1)/n2.

तर 0*(1/n) पासून सुरुवात करून व त्यानंतर अशा काळाच्या तुकड्यां(i) मध्ये १ ते n-1 असे आकडे टाकत गेले तर विस्थापनाचे सूत्र खालील प्रमाणे मिळते:

0*(1/n)+ 3(1/n2)+3(2)(1/n2)+3(3)(1/n2)+…+3(n-1)(1/n2) असे उत्तर मिळेल.”

“अरे विक्रमा हा कुठला n चा पाढा वाचतोयस? कायहे सारं? किती झालं विस्थापन कळतच नाहीये या लांबड्या सूत्रातून?”

“सांगतो सांगतो. थोडं सोपं करुया. 3 आणि (1/n2) हा भाग समान काढला तर:
3/n2(0+1+2+3+…+(n-1)).

म्हणजेच (n-1) इतक्या पूर्ण संख्यांच्या बेरजेच्या (1/n2) पट विस्थापन असेल.

दुसऱ्या एका सूत्रानुसार पहिल्या k इतक्या पूर्णांकांची बेरीज 1+2+3+4+…+k = k(k+1)/2.
आता याठिकाणी k=(n-1) ठेवले तर 1+2+3+4+…+(n-1)= ((n-1)n)/2= (n2-n)/2.

याचा वापर करून कापलेले अंतर पुढील सूत्राने मिळते :
(3/n2)((n2-n)/2)=(3/2)((n2-n)/n2)=3/2((n2/n2)-(n/n2))=3/2(1-1/n) ”

“अरे काय हे विक्रमा..पुन्हा n चा पाढा..विस्थापन किती झाले?”

“वेताळा यात आता n साठी आकडे घालू. विस्थापनासाठी लागलेल्या काळाचे १० भाग केले, n=10, तर विस्थापन = 3/2(1-1/10)=3/2(1-0.1)=(1.5)(0.9)=1.35

काळाचे १०० भाग केले, n=100, तर विस्थापन=(1.5)(1-1/100)=1.5*(1-0.01)=1.485
काळाचे १००० भाग केले, n=1000, तर विस्थापन=(1.5)(1-1/1000)=1.5*(1-0.001)=1.4985
काळाचे १०००० भाग केले, n=10000, तर विस्थापन=1.5(1-1/10000)=1.5*(1-0.0001)=1.49985
काळाचे १,००,००० भाग केले, n=1,00,000, तर ..वि..”

“बास बास..आम्ही वेताळ डोक्याची १०० शकले म्हणजे भाग करतो..पण तू तर काळाचे १,००,००० भाग करायला निघालास..आणि माझ्या हेही लक्षात येतंय की n जसा वाढतोय, अगणिता कडे(Infinity) जातोय, तसं उत्तर १.५ च्या अधिकाधिक जवळ येत चाललंय..”

हो वेताळा, हीच गोष्ट फलिताच्या (function) च्या स्वरूपात अधिक सोपी करून सांगायची असल्यास...आपण ते फलित (v=3t) मर्यादित स्वरूपात विचारात घेउन करु शकतो. उदाहरणार्थ काळ t=a पासून ते t=b पर्यंतचा विचार केल्यास
t=a होईपर्यंत झालेले विस्थापन s(a)= 3(a2)/2+ k
t=b होईपर्यंत झालेले विस्थापन s(b)=3(b2)/2 + k

मग a ते b या काळात झालेले विस्थापन = 3(b2)/2-3(a2)/2

आता याठिकाणी विस्थपनासाठी लागलेला काळ(t)=(b-a). या काळाचे आपण n तुकडे केले तर प्रत्येक तुकडा(Δt) आपल्याला पुढील सूत्राने मिळेल : Δt=(b-a)/n.

या कालावधीचा पहिला तुकडा आपल्याला a+(i-1)(b-a)/n या सूत्राने मिळेल, त्या कालावधीला आपण ti-1 असे म्हणूया. मग त्या कालावधीतील विस्थापन f(ti-1)* Δt इतके असेल. तर त्या गोळ्याचे विस्थापन साधारणपणे
f(t0) Δt+f(t1) Δt+f(t2) Δt+…+f(tn-1) Δt

हीच गोष्ट बेरजेच्या स्वरूपातलिहायची झाल्यास ती अशी दाखवता येईल
f(t0) Δt+f(t1) Δt+f(t2) Δt+…+f(tn-1) Δt

वर पाहिल्याप्रमाणे n ची किंमत अगणिता कडे नेत गेलो तर उत्तर अचूक मिळेल..म्हणून n ची किंमत ∞ (Infinity) कडे नेत असता (आकृती १)

“बापरे विक्रमा, आता या अदृश्य भूतांवर सोटा उगारण्या पर्यंत तुमची मजल गेली. हद्द झाली तुम्हा मानवांची..पण मला हे सांग की मोजमाप सुरु करण्याआधी(t0) त्या फलिताची काही ठरीव किंमत असेल: f(t0) तर हे समीकरण कसे लिहिशील?”

“वेताळा, आपण गतीसमीकरणांचे उदाहरण घेऊन बोलूया. समजा एक वस्तू आरंभस्थाना पासून s0 एवढ्या अंतरावर असताना बाह्यबला मुळे ती t एवढ्या कालापर्यंत पुढे जात राहिली तर t0 ते t या कालावधीतील विकलांच्या (definite integral) भाषेत तिचे समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिता येईल (आकृती २)

“विक्रमा हे अजूनही क्लिष्टच वाटते. ती गतीसमीकरणे की काय तू सांगितली होतीस, ती या समीकरणावरून सिद्ध करून दाखव बरं..अरे पण हे काय तुझ्या लांबड्या गप्पांमध्ये एक प्रहर टळून गेला तरी मला अपेक्षित उत्तर मिळाले नाही..निदान माझे उत्तर देण्यासाठी तरी तुला मी जिवंत ठेवतोय..आज वाचलास..पण नेहमीच नशीब साथ देईल असे नाही..पुन्हा भेटू राजा..हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

विक्रम राजा वरचं संकट यावेळेस तरी टळलं या विचाराने जंगलातल्या सर्व स्थिरचरांनी सुटकेचा निश्वास टाकला..कोणत्या तरी त्या विकला बद्दल बोलल्यामुळे तो वेताळ विक्रमराजाला मारु शकला नाही. त्यामुळे हा विकलाचा कोणतातरी अक्राळ विक्राळ सोटाधारी(∫) आग्यावेताळच असावा असे सर्वांना वाटले व सर्वांनी या महावेताळाचे आभार मानले.

(क्रमश:)

सर्व कथा एका ठिकाणी पाहण्यासाठी ब्लॉग इथे पहा: विक्रम आणि वेताळ पदार्थविज्ञानाच्या जंगलात